Limites 

A distância entre a soma das funções e dos limites é no máximo a soma entre a diferença entre as funções e seus respectivos limites. Essa diferença é a tolerância de aproximação. Para que ambas aproximações sejam iguais, basta que cada tolerância seja metade da outra, logo:

(f + g)(x) - (L1 + L2)/2 = f(x) - L1/2 + g(x) - L2/2
(f + g)(x) - (L1 + L2) = [f(x) - L1] + [g(x) - L2]
(f + g)(x) = L1 + L2
lim[x -> a](f + g)(x) = L1 + L2